MATEMATIKA-VEKTORJI
Pozdrav, prosil bi če bi si lahko kdo uzeu kakšno minutko in pogledal te dve naloge.
1.) Dane so štiri točke: A(1,-1,-2), B(-1,7,0), C(2,-1-1) in D(-3,6,-7). Ali so vektorji AB,BC,CD,AD komplanarni? Ali je štirikotnik ABCD paralelogram?
2.) Ugotovite z izračunom ali so vektorji neodvisni.
a) (2,-1,2),(-1,1,1),(4,-1,-5) b)(2,-1,-2),(-1,1,1),(4,-1,-4)
Uh, vektorje v 3D sem pa že pozabila. Pa malo pozno je, da bi se zdajle ubadala s tem. Čisto mogoče je, da se motim, ampak tako na pamet bi se 1. naloge lotila takole:
Če je ABCD paralelogram, potem velja, da je vektor AB enak vektorju DC in vektor AD enak vektorju BC. To pomeni, da je b – a = c – d (a,b,c, in d so vektorji, ampak jih zdajle ne morem označiti s puščicami) in hkrati je a – d = b – c. Izračunaš in vidiš, kaj dobiš.
Mislim, da je že to zadosten dokaz, da vse točke ležijo v isti ravnini. Če se pa slučajno motim, pa se ta trenutek spomnim enega načina dokazovanja, da gre za koplanarne točke (oz. vektorje), ki pa ni preveč eleganten. Gotovo obstaja kakšna boljša varianta, ampak bom vseeno napisala svojo idejo.
Tri točke določajo ravnino, če ne ležijo na isti premici. Če bi (npr. točke A, B in C) ležale na isti premici, bi lahko en vektor (recimo AC) zapisal v obliki AC = n (krat) AB. Če tega ne moreš narediti, točke ne ležijo na isti premici in torej določajo ravnino.
Obstaja neka enačba za vektorsko računanje razdalje točke od ravnine (ki se je ne spomnim). Če je rezultat te enačbe 0, potem točka leži na dani ravnini in so torej vse 4 točke koplanarne.
Drugi način je pa, da poskusiš enega od vektorjev izraziti z dvema drugima danima vektorjema. V smislu: d = n (krat) a + m (krat) b (pri čemer so d, a in b vektorji). Isto narediš še za vektor c. Če ti to uspe, potem so vektorji koplanarni.
2.) Vektorji so neodvisni, če enega od njih ne moreš izraziti z drugima dvema. Na način, kot sem že zgoraj napisala. Recimo: a = n (krat) b + m (krat) c . Če ti to ne uspe, so neodvisni. Kar pri treh vektorjih pomeni, da ne ležijo v isti ravnini.
Upam, da ti kaj od tega pride prav. Računanja se pa ta trenutek ne bom lotila, ker odhajam spat. Srečno!
Uh, vektorje v 3D sem pa že pozabila. Pa malo pozno je, da bi se zdajle ubadala s tem. Čisto mogoče je, da se motim, ampak tako na pamet bi se 1. naloge lotila takole:
Če je ABCD paralelogram, potem velja, da je vektor AB enak vektorju DC in vektor AD enak vektorju BC. To pomeni, da je b – a = c – d (a,b,c, in d so vektorji, ampak jih zdajle ne morem označiti s puščicami) in hkrati je a – d = b – c. Izračunaš in vidiš, kaj dobiš.
Mislim, da je že to zadosten dokaz, da vse točke ležijo v isti ravnini. Če se pa slučajno motim, pa se ta trenutek spomnim enega načina dokazovanja, da gre za koplanarne točke (oz. vektorje), ki pa ni preveč eleganten. Gotovo obstaja kakšna boljša varianta, ampak bom vseeno napisala svojo idejo.
Tri točke določajo ravnino, če ne ležijo na isti premici. Če bi (npr. točke A, B in C) ležale na isti premici, bi lahko en vektor (recimo AC) zapisal v obliki AC = n (krat) AB. Če tega ne moreš narediti, točke ne ležijo na isti premici in torej določajo ravnino.
Obstaja neka enačba za vektorsko računanje razdalje točke od ravnine (ki se je ne spomnim). Če je rezultat te enačbe 0, potem točka leži na dani ravnini in so torej vse 4 točke koplanarne.
Drugi način je pa, da poskusiš enega od vektorjev izraziti z dvema drugima danima vektorjema. V smislu: d = n (krat) a + m (krat) b (pri čemer so d, a in b vektorji). Isto narediš še za vektor c. Če ti to uspe, potem so vektorji koplanarni.
2.) Vektorji so neodvisni, če enega od njih ne moreš izraziti z drugima dvema. Na način, kot sem že zgoraj napisala. Recimo: a = n (krat) b + m (krat) c . Če ti to ne uspe, so neodvisni. Kar pri treh vektorjih pomeni, da ne ležijo v isti ravnini.
Upam, da ti kaj od tega pride prav. Računanja se pa ta trenutek ne bom lotila, ker odhajam spat. Srečno!
[/quote]
Tisa_R
Hvala ker ste si vzeli čas 🙂
Bom probal rešiti pa sporočim. Lp
Uh, vektorje v 3D sem pa že pozabila. Pa malo pozno je, da bi se zdajle ubadala s tem. Čisto mogoče je, da se motim, ampak tako na pamet bi se 1. naloge lotila takole:
Če je ABCD paralelogram, potem velja, da je vektor AB enak vektorju DC in vektor AD enak vektorju BC. To pomeni, da je b – a = c – d (a,b,c, in d so vektorji, ampak jih zdajle ne morem označiti s puščicami) in hkrati je a – d = b – c. Izračunaš in vidiš, kaj dobiš.
Mislim, da je že to zadosten dokaz, da vse točke ležijo v isti ravnini. Če se pa slučajno motim, pa se ta trenutek spomnim enega načina dokazovanja, da gre za koplanarne točke (oz. vektorje), ki pa ni preveč eleganten. Gotovo obstaja kakšna boljša varianta, ampak bom vseeno napisala svojo idejo.
Tri točke določajo ravnino, če ne ležijo na isti premici. Če bi (npr. točke A, B in C) ležale na isti premici, bi lahko en vektor (recimo AC) zapisal v obliki AC = n (krat) AB. Če tega ne moreš narediti, točke ne ležijo na isti premici in torej določajo ravnino.
Obstaja neka enačba za vektorsko računanje razdalje točke od ravnine (ki se je ne spomnim). Če je rezultat te enačbe 0, potem točka leži na dani ravnini in so torej vse 4 točke koplanarne.
Drugi način je pa, da poskusiš enega od vektorjev izraziti z dvema drugima danima vektorjema. V smislu: d = n (krat) a + m (krat) b (pri čemer so d, a in b vektorji). Isto narediš še za vektor c. Če ti to uspe, potem so vektorji koplanarni.
2.) Vektorji so neodvisni, če enega od njih ne moreš izraziti z drugima dvema. Na način, kot sem že zgoraj napisala. Recimo: a = n (krat) b + m (krat) c . Če ti to ne uspe, so neodvisni. Kar pri treh vektorjih pomeni, da ne ležijo v isti ravnini.
Upam, da ti kaj od tega pride prav. Računanja se pa ta trenutek ne bom lotila, ker odhajam spat. Srečno!
[/quote]
1. V ravnini sta dana vektorja a in b, za katerega je a=4 in b=3 kot je 60 stopinj. Izracunaj njegovo dolzino.
Ali mogoce kdo ve kako bi tole resil?
Ta pa mislim, da bi šla s cosinusnim izrekom in sinusnim izrekom.
Nariši skico. Vektor a gre od izhodišča desno 6 enot (npr. cm), vektor b gre navzgor levo 5 cm. Zdaj pa nariši vektor, ki se začne na koncu vektorja a, je dolg 5 cm in gre desno navzdol (je vzporeden vektorju b, ampak v drugo smer). To je vektor (-b). Če potegneš tretji vektor od začetka a do konca (-b) dobiš vektor a+(-b) = a-b.
Zdaj imaš trikotnik, znani sta dolžini dveh stranic in kot med tema dvema daljicama. Kot med a in -b je tudi 2pi/3 (=120°) (o tem se prepričaš s sovršnimi koti).
Imenujmo tretjo stranico c. Omenjen kot (ki leži nasproti c) pa naj bo gama.
Najprej določi dolžino tretje stranice. Kosinusni izrek ti tukaj pomaga:
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*cos(2pi/3) = 91
Torej c=koren(91)
Zdaj ko imaš vse tri stranice pa uporabi sinusni izrek, da dobiš vse tri kote:
sin (alfa) / a = sin (beta) / b = sin (gama) / c.
Zanima te kot nasproti daljice b (kot med a in c). To je beta.
sin (beta) = b * sin(gama) / c.
Potem pa arcsin in dobiš približno 0,4711 radiana oz. 27°.
Ta pa mislim, da bi šla s cosinusnim izrekom in sinusnim izrekom.
Nariši skico. Vektor a gre od izhodišča desno 6 enot (npr. cm), vektor b gre navzgor levo 5 cm. Zdaj pa nariši vektor, ki se začne na koncu vektorja a, je dolg 5 cm in gre desno navzdol (je vzporeden vektorju b, ampak v drugo smer). To je vektor (-b). Če potegneš tretji vektor od začetka a do konca (-b) dobiš vektor a+(-b) = a-b.
Zdaj imaš trikotnik, znani sta dolžini dveh stranic in kot med tema dvema daljicama. Kot med a in -b je tudi 2pi/3 (=120°) (o tem se prepričaš s sovršnimi koti).
Imenujmo tretjo stranico c. Omenjen kot (ki leži nasproti c) pa naj bo gama.
Najprej določi dolžino tretje stranice. Kosinusni izrek ti tukaj pomaga:
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*cos(2pi/3) = 91
Torej c=koren(91)
Zdaj ko imaš vse tri stranice pa uporabi sinusni izrek, da dobiš vse tri kote:
sin (alfa) / a = sin (beta) / b = sin (gama) / c.
Zanima te kot nasproti daljice b (kot med a in c). To je beta.
sin (beta) = b * sin(gama) / c.
Potem pa arcsin in dobiš približno 0,4711 radiana oz. 27°.
[/quote]
A se da mogoče izraačunati z tisto formulo: a*b=[a]**cos alfa
Ne vem, kako ste to računali in če moraš to izračunati po kakšnem posebnem postopku, ki se ga jaz ne spomnim. Brez težav pa to nalogo rešiš s pomočjo kosinusnega izreka.
Kosinusni izrek: c(na kvadrat) = a(na kvadrat) + b(na kvadrat) – 2ab (krat) cos vmesnega kota
Najprej izračunaš dolžino vektorja a-b (torej stranico c trikotnika), potem pa s pomočjo sinusnega ali kosinusnega izreka še iskani kot.
če naprimer hočemo izračunati kot med dvema vektorjema uporabimo formulo
a*b= I a I * I b I *cos alfa
[/quote]
Ja, sem se spomnil, da bi šlo s tem, ampak potem rabiš izraze za vektorje, ker moraš izračunati skalarni produkt. Vektor a gre od izhodišla do (6,0), vektor b gre od izhodišča do točke
(5 * cos(2*pi/3) , 5*sin(2*pi/3)). Če zdaj računaš vektor a-b je to:
(a-b)(6-5*cos(2*pi/3) , -5*sin(2*pi/3)
Drugi vektor v enačbi je itak a=(6,0)
Skalarni produkt je 51.
Dolžina a = 6
Dolžina (a-b) = koren 91
Dobiš cos(alfa) = 51/6/(koren 91)
narediš arccos in potem dobiš spet isti alfa.
Ja, sem se spomnil, da bi šlo s tem, ampak potem rabiš izraze za vektorje, ker moraš izračunati skalarni produkt. Vektor a gre od izhodišla do (6,0), vektor b gre od izhodišča do točke
(5 * cos(2*pi/3) , 5*sin(2*pi/3)). Če zdaj računaš vektor a-b je to:
(a-b)(6-5*cos(2*pi/3) , -5*sin(2*pi/3)
Drugi vektor v enačbi je itak a=(6,0)
Skalarni produkt je 51.
Dolžina a = 6
Dolžina (a-b) = koren 91
Dobiš cos(alfa) = 51/6/(koren 91)
narediš arccos in potem dobiš spet isti alfa.
[/quote]
1.) Podan imamo pravilni šestkotnik s stranico a=5cm. Vektorja CE in DF zapiši kot linearno kombinacijo vektorjev a=AB in b=CD. Izračunaj skalarni produkt CE*DF.
1.) Podan imamo pravilni šestkotnik s stranico a=5cm. Vektorja CE in DF zapiši kot linearno kombinacijo vektorjev a=AB in b=CD. Izračunaj skalarni produkt CE*DF.
[/quote]
Poskusi takole:
CE = b (vektor) – 2a (vektor)
DF = -a (vektor) – b (vektor)
Če ta dva vektorja postaviš v koordinatni sistem, z začetkom v koordinatnem izhodišču, dobiš:
koordinate CE: x = – (3/2)a
y = višina enakostraničnega trikotnika s stranico a
koordinate DF: x = – (3/2)a
y = – (višina enakostraničnega trikotnika s stranico a)
Te podatke uporabiš za izračun skalarnega produkta danih vektorjev.
Poskusi takole:
CE = b (vektor) – 2a (vektor)
DF = -a (vektor) – b (vektor)
Če ta dva vektorja postaviš v koordinatni sistem, z začetkom v koordinatnem izhodišču, dobiš:
koordinate CE: x = – (3/2)a
y = višina enakostraničnega trikotnika s stranico a
koordinate DF: x = – (3/2)a
y = – (višina enakostraničnega trikotnika s stranico a)
Te podatke uporabiš za izračun skalarnega produkta danih vektorjev.
[/quote]
Ma kaj nebi blo bolj prav z formulo: a*b=IaI*IbI*cos alfa
in pol IaI=koren a*a
Forum je zaprt za komentiranje.